数字图像处理复习（三）

（学习笔记，不属个人作品）

回顾：

• 图像平滑：模糊和降噪；
• 图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变化缓慢的区域。

空域图像增强和频域图像增强结合起来是图像增强技术的完整内容。

本章将对空域图像在频域中进行处理

• 傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法，反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。
• 频谱特性：图像的平坦区域对应频谱中的低频成分，而图像的细节内容对应频谱中的高频成分。

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滤波基础

卷积定理是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带

傅里叶变换：

频谱是一种在频域中描述图像特征的方法，反映了图像的幅度和相位随频率的分布的情况。

频域滤波的基本流程

• 空域图像$\rightarrow$频域图像
• 实现频域滤波（与频域滤波函数的卷积得到最终频域图像）
• 最终频域图像$\rightarrow$空域图像

期间需要傅里叶变换：
即将空域图像$\bm{f}(x,y)$转换为傅里叶频域图像$\bm{F}(x,y)$。

$F(u, v)=\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi(u x / M+v y / N)}$

以及傅里叶逆变换

$f(x, y)=\frac{1}{M N} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u, v) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi(u x / M+v y / N)}$

频率平面与图像空域特性的关系

• 图像变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个区域为低频区域。

• 图像中的边、噪声、变化陡峻的部分，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为高频区域。

为什么要在频域研究图像增强

• 可以利用频率成分和图像表观之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常简单。
• 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。
• 可以在频率域指定滤波器，做逆变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。

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低通滤波器

• 概念： 允许图像的低频成分通过，限制高频成分通过。
• 限制或减弱频谱中的高频成分可以起到图像平滑的作用。

频域中的低通滤波器允许频谱中的低频成分通过，限制高频成分通过，滤除噪声和不必要的细节和纹理，和空域中的平滑模板具有等效的作用。

理想低通滤波器

理想低通滤波器完全截断频谱中的高频成分， 其传递函数定义为

$H_{\mathrm{ilp}}(u, v)=\left\{\begin{array}{l} 1, D(u, v) \leqslant D_{0} \\ 0, D(u, v)>D_{0} \end{array}\right.$

D(u, v)是点(u,v)到频谱中心(u,v) 的距离，$D_0$为截止频率。

• 理想低通滤波器完全截断频谱中的高频成分。
• 理想低通滤波器的锐截止频率不能用电子器件实现，且会产生振铃效应，表现在图像灰度剧烈变化的邻域产生灰度震荡。

振铃效应：

巴特沃斯低通滤波器

是一种物理可实现的低通滤波器， n阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数定义为

$H_{\mathrm{blp}}(u, v)=\frac{1}{1+\left[D(u, v) / D_{0}\right]^{2 n}}$

特点：

通带与阻带之间并非锐截止而是逐渐下降为零，通带到阻带之间平滑过渡，因而滤波图像的振铃效应不明显。
当n越大，该越趋向于理想低通滤波器。

• 高频成分携带能量少，但包含有丰富的边界、细节信息，所以截止频率D0变小时，虽然亮度足够（能量损失不大），但图像变模糊了。反之变暗，图像清晰。

指数低通滤波器

也是一种物理可实现的低通滤波器， n阶指数低通滤波器的传递函数定义为

$H_{\mathrm{elp}}(u, v)=\exp \left\{-\left[\frac{D(u, v)}{D_{0}}\right]^{n}\right\}$

比起巴特沃斯低通滤波器下降更快

特点

通带到阻带之间平滑过渡，因而其滤波图像的振铃效应不明显。

同巴特沃斯一样，滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快，越接近理想低通滤波器，振铃效应越明显。

比较

与二阶巴特沃斯低通滤波器相比，二阶指数低通滤波

• 在小于截止频率时，衰减得较快，通过的低频成分较少，
• 在大于截止频率时，尾部很快衰减到零，对高频成分的抑制更强。

二阶指数低通滤波器无振林效应，而二阶巴特沃斯低通滤波器有。

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高通滤波器

概念：

• 允许图像的高频成分通过，而限制低频成分通过。
• 限制或减弱频谱中的低频成分可以起到图像锐化的作用。

高通滤波器的传递函数与低通滤波器的传递函数有如下关系：

$H_{\mathrm{hp}}(u, v)=1-H_{\mathrm{lp}}(u, v)$

理想高通滤波器

完全截断频谱中的低频成分，传递函数定义为

$H_{\mathrm{ihp}}(u, v)=\left\{\begin{array}{l} 1, D(u, v) \geqslant D_{0} \\ 0, D(u, v)<D_{0} \end{array}\right.$

特点

• 与理想低通一样，会产生振铃效应。

• 随着理想高通滤波器截止频率的增大，允许通过的高频成分减少，振铃效应更明显，但是允许通过的高频减少时，边缘更加细化，振铃效应反而不明显。

• 高通滤波器中，振铃效应表现在图像上为边缘产生重影。

巴特沃斯高通滤波器

是一种物理可实现的高通滤波器，n阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数定义

$H_{\mathrm{bhp}}(u, v)=\frac{1}{1+\left[D_{0} / D(u, v)\right]^{2 n}}$

特点

• 如同二阶巴特沃斯低通滤波器，二阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数在阻带与通带之间不是锐截止，是平滑的过渡，使滤波器具有良好的性能。
• 随着截止频率的增大，被滤除的低频成分越多，边缘更加清晰化

指数高通滤波器

也是一种物理可实现的高通滤波器，n阶指数高通滤波器的传递函数定义为

$H_{\mathrm{ehp}}(u, v)=1-\exp \left\{-\left[\frac{D(u, v)}{D_{0}}\right]^{n}\right\}$

特点

• 随着截止频率增加，被滤除的低频成分越多，边缘更加清晰化。
• 相同截止频率的指数高通滤波器比巴特沃斯高通滤波器允许更多的低频成分通过，保留了更多的背景基调

• 高通滤波器只记录了图像的变化，而不能保持图像的能量。
• 低频分量大部分被滤除后，虽然图中各区域的边界得到了明显的增强，但图中原来比较平滑区域内部的灰度动态范围被压缩，整幅图像比较昏暗
  • 解决方法：
    • 加一个常数到变换函数 H(u,v) + A（A取0→1），这种方法被称为高频强调（增强）。
    • 为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后滤波处理。

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带通、带阻与陷波滤波器

带通滤波器

• 概念：
  • 允许一定频带的信号通过，用于抑制低于或高于该频带的信号、噪声干扰。
    

带阻滤波器

• 概念：
  • 与带通滤波器执行相反的操作，
  • 带阻滤波器限制某一带宽范围的频率成分通过，而允许带宽范围以外的频率成分通过。
    

陷波滤波器

• 概念
  • 一种窄阻带的带阻滤波器。
  • 限制某一中心频率邻域内的频率成分通过，而允许其他频率成分通过。
    

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空域滤波与频域滤波的关系

频域滤波器的传递函数和空域冲激响应函数互为傅里叶变换对。
通过分析频域特性（主要是幅度特性）来分析空域模板的作用；借助频域滤波器的设计来指导空域
模板。
在频域图像增强中，利用频率成分和图像内容之间的对应关系，主观判断指定频域滤波器。一些直
接在空域中表述困难的增强任务，在频域中变得直观。